每日一题 #002

题目：

已知微分方程 $y'' - 2(1+\tan^2x)y = 0$ 有一个解 $y_1 = \tan x$，求其通解。

[!NOTE]
关键点：刘维尔公式 常数变易法

[!TIP]
本文中验证两特解线性无关的方法为朗斯基行列式（Wronskian Determinant），更加直观与明显。

在日常计算时，也可选用比例法，即检查是否存在一个常数 $k$，使得 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)} = k$：

• 如果比值是常数，则两个函数线性相关。
• 如果比值依赖于 $x$（不是常数），则两个函数线性无关。

示例：$\frac{e^{2x}}{e^x} = e^x$ 结果随 $x$ 变化，因此两个函数线性无关。

PROOF1:（使用刘维尔公式）

步骤1：将方程化为标准形式

二阶线性齐次微分方程的通用标准形式为：

$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$$

对比原方程 $y'' - 2(1+\tan^2x)y = 0$，无 $y'$ 项，因此对应系数为：

$$P(x) = 0,\quad Q(x) = -2(1+\tan^2x)$$

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步骤2：刘维尔降阶公式（二阶方程专用）

对于二阶线性齐次方程，若已知一个非零特解 $y_1(x)$，则第二个与它线性无关的特解，可由刘维尔公式直接推导：

$$y_2(x) = y_1(x) \cdot \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2(x)} \, dx$$

公式原理：基于刘维尔定理，朗斯基行列式满足 $W(x)=W(x_0)e^{-\int_{x_0}^x P(t)dt}$，以此实现降阶，快速求解第二个特解。

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步骤3：代入特解计算第二个线性无关解

已知特解 $y_1(x)=\tan x$，且 $P(x)=0$，分步计算：

1. 计算指数项

   $$\int P(x)dx = \int 0 \, dx = 0,\quad e^{-\int P(x)dx}=e^0=1$$

2. 代入刘维尔降阶公式

   $$y_2(x) = \tan x \cdot \int \frac{1}{\tan^2 x} \, dx = \tan x \cdot \int \cot^2 x \, dx$$

3. 计算三角积分（利用恒等式 $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$）

   $$\int \cot^2 x \, dx = \int (\csc^2 x - 1) \, dx = -\cot x - x + C$$

4. 取积分常数 $C=0$（仅需一个特解，常数可吸收到通解的任意常数中），代入化简

   $$y_2(x) = \tan x \cdot (-\cot x - x) = -1 - x\tan x$$

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步骤4：验证线性无关性（朗斯基行列式）

两个函数线性无关的充要条件：其朗斯基行列式在定义域内不恒为0。
朗斯基行列式定义：

$$W(y_1,y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}$$

先求导：

$$y_1' = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x,\quad y_2' = -\tan x - x\sec^2 x$$

代入行列式展开计算：

$$\begin{aligned} W &= \tan x \cdot (-\tan x - x\sec^2 x) - \sec^2 x \cdot (-1 - x\tan x) \\ &= -\tan^2 x - x\tan x\sec^2 x + \sec^2 x + x\tan x\sec^2 x \\ &= \sec^2 x - \tan^2 x \\ &= 1 \neq 0 \end{aligned}$$

朗斯基行列式在定义域内恒不为0，因此 $y_1$ 与 $y_2$ 线性无关。

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步骤5：写出方程的通解

二阶线性齐次微分方程的通解，为两个线性无关特解的线性组合：

$$y = C_1 \tan x + C_2 (1 + x\tan x)$$

注：$C_1,C_2$ 为任意常数，原 $y_2$ 的负号已吸收进任意常数 $C_2$ 中，不影响通解的一般性。

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定义域补充说明

由于 $\tan x$、$\sec^2 x$ 的定义域为 $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}$，因此通解在每个区间 $\left(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2}\right)$ 内成立。

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利用"刘维尔定理"解题的思路：

刘维尔公式的核心价值，是解决「二阶线性齐次微分方程，已知一个非零特解，求第二个线性无关特解，最终得到通解」的问题。

二阶线性齐次微分方程的通解结构定理，是所有操作的前提：

对于标准形式的二阶线性齐次方程：

$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$$

若 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是方程的两个线性无关的特解（即不成比例），则方程的通解为：

$$y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) \quad (C_1,C_2\text{为任意常数})$$

回到本题，题目已经给出一个特解 $y_1=\tan x$，因此我们的唯一核心任务，就是找到第二个和 $y_1$ 线性无关的特解 $y_2$，而刘维尔公式，就是专门用来快速求这个 $y_2$ 的固化公式，不用每次都手动降阶推导。

刘维尔降阶公式：

$$y_2(x) = y_1(x) \cdot \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2(x)} \, dx$$

一句话总结：刘维尔公式把「求二阶方程特解」的复杂问题，直接简化成了「求一个不定积分」的简单问题，跳过了手动设函数、求导、化简、降阶的全过程。

解题思路：

将通解中与 $y_1$ 搭配的常数，替换为关于 $x$ 的未知函数 $u(x)$，即设第二个线性无关特解为 $y_2 = u(x) \cdot y_1(x)$。

将其代入原方程后，利用 $y_1$ 是解的性质，可消去含 $u(x)$ 的项，将二阶方程降为关于 $u'(x)$ 的一阶微分方程，求解后即可得到 $u(x)$，最终得到第二个特解与通解。

原方程：

$$y'' - 2(1+\tan^2x)y = 0$$

对比标准形式 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$，得：

$$P(x) = 0,\quad Q(x) = -2(1+\tan^2x)$$

已知方程的一个非零特解：$y_1 = \tan x$ ，代入刘维尔公式得：

$$y_2 = -1 - x\tan x$$

接下来验证无关性：

$$\begin{aligned} W(y_1,y_2) &= \begin{vmatrix} \tan x & -1 - x\tan x \\ \sec^2 x & -\tan x - x\sec^2 x \end{vmatrix} \\ &= \tan x(-\tan x - x\sec^2 x) - \sec^2 x(-1 - x\tan x) \\ &= -\tan^2 x - x\tan x\sec^2 x + \sec^2 x + x\tan x\sec^2 x \\ &= \sec^2 x - \tan^2 x = 1 \neq 0 \end{aligned}$$

朗斯基行列式恒不为0，故 $y_1$ 与 $y_2$ 线性无关。

二阶线性齐次方程的通解为两个线性无关特解的线性组合，将 $y_2$ 的负号吸收到任意常数 $C_2$ 中，最终通解为：

$$y = C_1 \tan x + C_2 (1 + x\tan x) \quad (C_1,C_2\text{ 为任意常数})$$

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PROOF2:（使用常数变易法）

对于标准形式的二阶线性齐次微分方程：

$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \quad \text{且已知一个非零特解 } y_1(x)$$

常数变易法的核心是：

将通解中与 $y_1$ 搭配的常数，替换为关于 $x$ 的未知函数 $u(x)$，即设第二个线性无关特解为 $y_2 = u(x) \cdot y_1(x)$。

将其代入原方程后，利用 $y_1$ 是解的性质，可消去含 $u(x)$ 的项，将二阶方程降为关于 $u'(x)$ 的一阶微分方程，求解后即可得到 $u(x)$，最终得到第二个特解与通解。

原方程：

$$y'' - 2(1+\tan^2x)y = 0$$

对比标准形式 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$，得：

$$P(x) = 0,\quad Q(x) = -2(1+\tan^2x)$$

已知方程的一个非零特解：$y_1 = \tan x$ （补充三角恒等式：$1+\tan^2x = \sec^2x$，后续化简用）

根据常数变易法，设第二个与 $y_1$ 线性无关的特解为：

$$y_2 = u(x) \cdot y_1 = u(x) \cdot \tan x$$

其中 $u(x)$ 是待求的非常数函数（非常数才能保证与 $y_1$ 线性无关）。

对 $y_2$ 逐次求导（乘积求导法则）：

1. 一阶导数：

   $$y_2' = u'(x) \tan x + u(x) \sec^2 x$$

2. 二阶导数：

   $$\begin{aligned} y_2'' &= u''(x) \tan x + u'(x) \sec^2 x + u'(x) \sec^2 x + u(x) \cdot 2\sec^2 x \tan x \\ &= u''(x) \tan x + 2u'(x) \sec^2 x + 2u(x) \sec^2 x \tan x \end{aligned}$$

将 $y_2$、$y_2''$ 代入原方程 $y'' - 2\sec^2x \cdot y = 0$：

$$\bigl[u'' \tan x + 2u' \sec^2 x + 2u \sec^2 x \tan x\bigr] - 2\sec^2 x \cdot \bigl[u \tan x\bigr] = 0$$

展开后观察项的抵消：含 $u(x)$ 的项 $2u \sec^2 x \tan x$ 与 $-2u \sec^2 x \tan x$ 完全抵消（这是常数变易法降阶的核心，因为 $y_1$ 是原方程的解，含 $u$ 的项必然抵消），最终化简为：

$$u'' \tan x + 2u' \sec^2 x = 0$$

此时二阶方程已降为关于 $u'$ 的一阶微分方程。

令 $v = u'(x)$，则 $u'' = v'$，代入上式得：

$$v' \tan x + 2v \sec^2 x = 0$$

这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量：

$$\frac{dv}{v} = -2 \cdot \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx$$

两边同时积分（仅需一个特解，积分常数取0即可）：

$$\int \frac{dv}{v} = -2 \int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx$$

左边积分：

$$\int \frac{dv}{v} = \ln|v|$$

右边积分：令 $t = \tan x$，则 $dt = \sec^2 x \, dx$，因此

$$\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx = \int \frac{dt}{t} = \ln|\tan x|$$

代入后整理：

$$\ln|v| = -2\ln|\tan x| = \ln|\cot^2 x|$$

两边取指数，得：

$$v = u'(x) = \cot^2 x$$

对 $u'(x)$ 积分求 $u(x)$（积分常数仍取0）：

$$u(x) = \int u'(x) \, dx = \int \cot^2 x \, dx$$

利用三角恒等式 $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ 化简积分：

$$u(x) = \int (\csc^2 x - 1) \, dx = -\cot x - x$$

即：

$$u(x) = -\cot x - x$$

将 $u(x)$ 代入 $y_2 = u(x) \cdot \tan x$，化简得：

$$\begin{aligned} y_2 &= (-\cot x - x) \cdot \tan x \\ &= -\cot x \cdot \tan x - x\tan x \\ &= -1 - x\tan x \end{aligned}$$

接下来验证无关性：

$$\begin{aligned} W(y_1,y_2) &= \begin{vmatrix} \tan x & -1 - x\tan x \\ \sec^2 x & -\tan x - x\sec^2 x \end{vmatrix} \\ &= \tan x(-\tan x - x\sec^2 x) - \sec^2 x(-1 - x\tan x) \\ &= -\tan^2 x - x\tan x\sec^2 x + \sec^2 x + x\tan x\sec^2 x \\ &= \sec^2 x - \tan^2 x = 1 \neq 0 \end{aligned}$$

朗斯基行列式恒不为0，故 $y_1$ 与 $y_2$ 线性无关。

二阶线性齐次方程的通解为两个线性无关特解的线性组合，将 $y_2$ 的负号吸收到任意常数 $C_2$ 中，最终通解为：

$$y = C_1 \tan x + C_2 (1 + x\tan x) \quad (C_1,C_2\text{ 为任意常数})$$

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*刘维尔公式的证明

看不懂没关系，会用公式就可以。

从二阶线性齐次微分方程的标准形式出发（保证推导的通用性，要求 $y''$ 的系数为1）：

$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \tag{1}$$

其中 $P(x), Q(x)$ 是区间 $I$ 上的连续函数；已知方程 (1) 在区间 $I$ 上的一个非零特解 $y_1(x)$（即 $y_1(x) \not\equiv 0$，$x\in I$）。

根据常数变易的核心思想，设与 $y_1(x)$ 线性无关的第二个特解为：

$$y_2(x) = u(x) \cdot y_1(x) \tag{2}$$

其中 $u(x)$ 是待求的非常数函数（非常数才能保证 $y_2$ 与 $y_1$ 不成比例，即线性无关）。

利用乘积求导法则，对 (2) 式逐次求导：

1. 一阶导数：

   $$y_2' = u'(x) y_1(x) + u(x) y_1'(x) \tag{3}$$

2. 二阶导数：

   $$y_2'' = u''(x) y_1(x) + 2u'(x) y_1'(x) + u(x) y_1''(x) \tag{4}$$

将 (2)(3)(4) 代入原方程 (1)，得：

$$\bigl[u''y_1 + 2u'y_1' + uy_1''\bigr] + P(x)\bigl[u'y_1 + uy_1'\bigr] + Q(x)\bigl[uy_1\bigr] = 0$$

将式子按 $u'', u', u$ 分组整理：

$$u''y_1 + u'\bigl[2y_1' + P(x)y_1\bigr] + u\bigl[y_1'' + P(x)y_1' + Q(x)y_1\bigr] = 0 \tag{5}$$

因为 $y_1(x)$ 是原方程 (1) 的特解，所以它必然满足原方程，即：

$$y_1'' + P(x)y_1' + Q(x)y_1 = 0$$

因此 (5) 式中含 $u$ 的项整体为0，直接抵消。此时二阶方程被降为关于 $u'$ 的一阶微分方程：

$$u''y_1 + u'\bigl[2y_1' + P(x)y_1\bigr] = 0 \tag{6}$$

令 $v = u'(x)$，则 $u'' = v'$，代入 (6) 式得一阶齐次微分方程：

$$v'y_1 + v\bigl[2y_1' + P(x)y_1\bigr] = 0$$

由于 $y_1(x) \not\equiv 0$，两边同时除以 $y_1$，整理得：

$$v' + v\left(2\cdot\frac{y_1'}{y_1} + P(x)\right) = 0$$

这是可分离变量的微分方程，分离变量（$v \neq 0$，否则 $u$ 为常数，无意义）：

$$\frac{dv}{v} = -\left(2\cdot\frac{y_1'}{y_1} + P(x)\right) dx \tag{7}$$

对 (7) 式两边同时积分，我们仅需一个特解，因此积分常数取0（常数最终会被通解的任意常数吸收，不影响结果）：

$$\int \frac{dv}{v} = -\int \left(2\cdot\frac{y_1'}{y_1} + P(x)\right) dx$$

分别计算左右两边积分：

• 左边：

  $$\int \frac{dv}{v} = \ln|v|$$

• 右边：利用积分的线性性质拆分，其中

  $$\int \frac{y_1'}{y_1} dx = \ln|y_1| \quad (\text{复合函数积分法则})$$

  因此：

  $$-\int \left(2\cdot\frac{y_1'}{y_1} + P(x)\right) dx = -2\ln|y_1| - \int P(x) dx$$

合并后得：

$$\ln|v| = -2\ln|y_1| - \int P(x) dx$$

利用对数运算法则化简右边：

$$-2\ln|y_1| = \ln|y_1^{-2}| = \ln\left|\frac{1}{y_1^2}\right|$$

因此：

$$\ln|v| = \ln\left|\frac{1}{y_1^2}\right| - \int P(x) dx$$

两边同时取指数，消去对数：

$$v = \frac{1}{y_1^2} \cdot e^{-\int P(x) dx}$$

由于 $v = u'(x)$，因此我们得到了 $u'(x)$ 的通用表达式：

$$u'(x) = \frac{e^{-\int P(x) dx}}{y_1^2(x)} \tag{8}$$

对 (8) 式两边再次积分，仍取积分常数为0（仅需一个特解），得：

$$u(x) = \int \frac{e^{-\int P(x) dx}}{y_1^2(x)} \, dx$$

将 $u(x)$ 代回我们最初设的特解形式 (2)，最终得到第二个线性无关特解的通用计算公式，即刘维尔降阶公式：

$$y_2(x) = y_1(x) \cdot \int \frac{e^{-\int P(x) dx}}{y_1^2(x)} \, dx \tag{9}$$

根据线性无关的充要条件，两个解的朗斯基行列式在区间内不恒为0，则线性无关。将 $y_1, y_2$ 代入朗斯基行列式：

$$\begin{aligned} W(y_1,y_2) &= \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_1' y_2 \\ &= y_1 \bigl(u' y_1 + u y_1'\bigr) - y_1' \cdot u y_1 \\ &= u' \cdot y_1^2 \end{aligned}$$

将 (8) 式的 $u'$ 代入，得：

$$W(y_1,y_2) = \frac{e^{-\int P(x) dx}}{y_1^2} \cdot y_1^2 = e^{-\int P(x) dx}$$

由于指数函数恒不为0，因此 $W(y_1,y_2) \neq 0$，即 $y_2$ 与 $y_1$ 必然线性无关，公式的有效性得证。

Q.E.D

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希望这篇推文能帮到你:)

新年快乐~

LOVE FROM YUNRAN♡